$2cos^3x=2cosx +2tan2x+sinx.sin2x$$\Leftrightarrow 2cosx-2cos^3x+2\frac{sin2x}{cos2x}+sin2x.sinx=0$
$\Leftrightarrow 2cosx(1-cos^2x)+sin2x(sinx+\frac{2}{cos2x})=0$
$\Leftrightarrow 2cosx.sin^2x+\sin2x\frac{sinx.cos2x+2}{cos2x}=0$
$\Leftrightarrow sin2x(sinx+\frac{sinx.cosx2x+2}{cos2x})=0$
$\Leftrightarrow 2sin2x\frac{sinx.cos2x+1}{cos2x}=0$