Phương trình lượng giác hai ẩn

Question

$\tan^{2}x + tan^{2}y + cot^{2}(x+y)=1$

score 1 · Answer 1

Mò tới dạng này rồi à :))

Ta có công thức:

$cot(x+y)=\frac{1-tanx.tany}{tanx+tany}$

$\Leftrightarrow tanx.tany+(tanx+tany)cot(x+y)=1$

Áp dụng BĐT B.C.S ta có:

$VP=1=tanx.tany+tany.cot(x+y)+cot(x+y).tanx\leq \sqrt{tan^2x+tan^2y+cot^2(x+y)}.\sqrt{tan^2y+cot^2(x+y)+tan^2x}=tan^2x+tan^2y+cot^2(x+y)=VT$

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow \frac{tanx}{tany}=\frac{tany}{cot(x+y)}=\frac{cot(x+y)}{tanx}$

$\Leftrightarrow tan^2x=tan^2y=cot^2(x+y)=tanx.tany=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow x=y=\pm \frac{\pi}{6}+k\pi$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi Khong Viet Duoc Dau, đã hết hạn vào lúc 17-12-14 08:52 PM