Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$
b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$
c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $
d) $3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0 $
Giải:
a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$
$\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b)x+ab=0$
$\Delta '=(a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2=\frac{(a-b)^2}2+\frac{a^2+b^2}2\geq 0$
suy ra PT luôn có nghiệm
b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$
$\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0$
$\Delta '=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$
Suy ra PT (b) luôn có nghiệm.
c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $
$\Delta '=(a+b)^2+4.2(a^2-ab+b^2)=9a^2-6ab+9b^2=8a^2+(a-3b)^2\geq 0$
Suy ra PT (c) luôn có nghiệm.
Câu (d) tương tự câu (b)