Cho $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. CMR: $ac+bd+cd\leq \frac{9+6\sqrt2}{4}$

Question

๖ۣۜTQT☾♋☽ · Answer 1 · 1/20/2016 6:40:55 PM

Với

c \geq 0, d \leq 0

hoặc

c \leq 0, d \geq 0

. Ta có

c d \leq 0 (1)

Với

c \leq 0, d \leq 0

. Ta có

c + d \leq 0

( ko thể xảy ra )

Với

c \geq 0, d \geq 0

. Áp dụng bđt

A M - G M

:

c d \leq \frac{(c + d)^{2}}{4} = \frac{9}{4} (2)

Từ

(1), (2) \Rightarrow c d \leq \frac{9}{4}

\forall c d

\in R

~~~~~~~~~~~~~~

Áp dụng bđt bunhia, ta có

(a c + b d)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \Leftrightarrow | a c + b d | \leq \sqrt{c^{2} + d^{2}}

Ta lại có

a c + b d \leq | a c + b d |

\Rightarrow a c + b d \leq \sqrt{c^{2} + d^{2}}

\Leftrightarrow V T \leq \sqrt{c^{2} + d^{2}} + c d = \sqrt{9 - 2 c d} + c d = \sqrt{\frac{3 \sqrt{2}}{2}} . \frac{\sqrt{9 - 2 c d}}{\sqrt{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}} + c d

\leq \frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{9 - 2 c d}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}}{2} + c d = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{9 - 2 c d}{3 \sqrt{2}} + c d

= \frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} - 2}{3 \sqrt{2}} . c d \leq \frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} - 2}{3 \sqrt{2}} . \frac{9}{4}

V T \leq \frac{9 + 6 \sqrt{2}}{4}

(đpcm)

Dấu

"="

xảy ra

\Leftrightarrow a = b = 22, c = d = 32 " role="presentation" style="font-size: 13.696px; position: relative;"> \Leftrightarrow a = b = 2 \sqrt 2, c = d = 3 2

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 2 · 1/20/2016 6:27:50 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Với $c\ge0,d \le0$ hoặc $c \le 0, d \ge 0$. Ta có $cd \le0 (1)$

Với $ c \le 0 , d \le 0$. Ta có $c+d \le 0$ ( ko thể xảy ra )

Với $c \ge0 , d \ge0$. Áp dụng bđt $AM-GM$ : $cd \le \frac{(c+d)^2}4=\frac 94(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow cd \le \frac 94$ $\forall cd$ $\in \mathbb{R}$

~~~~~~~~~~~~~~

Áp dụng bđt bunhia, ta có $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\Leftrightarrow |ac+bd| \le \sqrt{c^2+d^2}$

Ta lại có $ac+bd \le|ac+bd|$

$\Rightarrow ac+bd \le \sqrt{c^2+d^2}$

$\Leftrightarrow VT\le \sqrt{c^2+d^2}+cd=\sqrt{9-2cd}+cd=\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}.\frac{\sqrt{9-2cd}}{\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}}+cd$

$\le \dfrac{\dfrac{3\sqrt2}{2}+\dfrac{9-2cd}{\frac{3\sqrt2}{2}}}{2}+cd=\frac{3\sqrt2}{4}+\frac{9-2cd}{3\sqrt2}+cd$

$=\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.cd \le\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.\frac 94$

$VT \le \frac{9+6\sqrt2}4$ (đpcm)

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{\sqrt 2}2,c=d=\frac32$

lịch sử

Sửa 20-01-16 06:27 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
161 4

10M 1M

Trả lời 20-01-16 05:17 PM

tran85295
1

10M 559K

bài này cũng hơi ngại số căn cồng kềnh. mà ban đầu a tính nhầm, ko biết điểm rơi chứ, nhục quá :(( – dolaemon 20-01-16 10:04 PM

ak nam ca...hum nào cho jin bái lm sư phụ – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 20-01-16 09:53 PM

bài này điểm rơi cũng đẹp nên e nghĩ là cô si chọn điểm rơi bth thôi, nó chỉ phức tạp chỗ đkxđ ko cho a,b,c,d >0 :3 – tran85295 20-01-16 09:47 PM

giỏi quá, đáng khâm phục. bài này sau này lớp 12 có lẽ sẽ đỡ hơn. dù sao cx cảm ơn nam nhiệt tình :D – dolaemon 20-01-16 09:31 PM

ui,sao nó math éo mẹ j hết r nam ơi @@ – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 20-01-16 06:40 PM

^^ chuẩn men ~ đây ms gọi là học đấy – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 20-01-16 05:57 PM

pro quá...... – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 20-01-16 05:31 PM

Hỏi	20-01-16 11:15 AM
Lượt xem	1139
Hoạt động	20-01-16 06:05 PM

Cho $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. CMR: $ac+bd+cd\leq \frac{9+6\sqrt2}{4}$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +10000 vỏ sò bởi vuthuynguyen17122002@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 21-01-16 06:14 PM

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. CMR: $ac+bd+cd\leq \frac{9+6\sqrt2}{4}$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +10000 vỏ sò bởi vuthuynguyen17122002@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 21-01-16 06:14 PM

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan