Bạn hãy tự chứng $x^5+x+1=0$ (1) có nghiệm duy nhất.Dễ thấy rằng: (1) $\Leftrightarrow x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)=0$
$\Leftrightarrow x^3-x^2+1=0$
$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})^3-\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})+\frac{25}{27}=0$ (2).
Suy ra nghiệm của (1) chính là nghiệm của (2) và ngược lại. Vì (1) có nghiệm duy nhất nên (2) cũng có nghiệm duy nhất.
Giả sử $u=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}$ và $v=\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}$. Kiểm tra dễ dàng $u^3+v^3=25$ và $uv=1$.
Với $x=\frac{1}{3}(1-u-v)$ hay $x-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}(u+v)$ thì vế trái của (2) bằng:
$-\frac{1}{27}[(u^3+v^3)+3vu(u+v)]+\frac{1}{9}(u+v)+\frac{25}{27}=-\frac{1}{27}[25+3(u+v)]+\frac{1}{9}(u+v)+\frac{25}{27}$
$=0$.
Suy ra $x=\frac{1}{3}(1-u-v)$ là nghiệm của (2), và nó cũng chính là nghiệm của (1).