Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $\left[ \frac 13;3 \right]$. Chứng minh :

Question

$$\frac 75 \le \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \le \frac 85$$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/17/2016 2:47:27 PM

Bình chọn tăng 12 Bình chọn giảm

Trả lời 17-05-16 02:47 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K

đạo hàm :)) – Hà Hoa 27-05-16 07:00 AM

@@ :v .... – ☼SunShine❤️ 17-05-16 06:41 PM

chữ đẹp sạch sẽ gọn gàng > tui :D – Confusion 17-05-16 06:06 PM

Xấu từ nhỏ == – ☼SunShine❤️ 17-05-16 04:32 PM

chữ xấu thế – Ruanyu Jian 17-05-16 04:25 PM

P/s : S mk lm dài v nhỉ :v – ☼SunShine❤️ 17-05-16 02:47 PM

score 10 · Answer 2

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Min :
Không mất tính tổng quát , giả sử : a=max{a,b,c}
Bđt <=> $(3a-2b)c^{2}-(2a^{2}-ab-3b^{2})c+3a^{2}b-2ab^{2} \geq 0$
Vì : $3a-2b>0$=> Ta cần CM :
$(2a^{2}-ab-3b^{2})^{2}-4(3a-2b)(3a^{2}b-2ab^{2})\leq 0$
$<=>(a-b)(a-9b)(4a^{2}+b^{2})\leq 0$ (luôn đúng do $a-b>=0,a-9b=<0)$
=> (đpcm)
Dấu = xảy ra $<=>a=3,b=1/3,c=1$
Bằng cách tương tự ta CM đc Max

điểm rơi : x=z=3 ; y=1/3 – Hà Hoa 09-05-16 12:13 AM

sr , nãy mk tìm thêm cách khác để chứng minh – Hà Hoa 09-05-16 12:09 AM

điểmm rơi của max là nhiêu thế bạn – tran85295 08-05-16 09:50 PM

score 7 · Answer 3

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Max ( Cách 2 ) :
Ta có :$\frac{b}{a}.\frac{a}{c}=<1=> \frac{a}{a+b}+\frac{c}{c+a}=< \frac{2}{1+\sqrt{\frac{b}{c}}}$
$=> P=< \frac{2}{t+1}+\frac{t^{2}}{t^{2}+1}$ (Với $t=\sqrt{\frac{b}{c}}\in [1/3;1]$
Tới đây xét hàm tt => $VT=< f(t)=(đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x=1/3;b=3;z=1

lịch sử

oh , sr bạn , buồn ngủ quá lm sai hết cả – Hà Hoa 09-05-16 01:09 PM

dấu bằng xảy ra khi $a=\frac 13,b=3,c=1$ nhé – tran85295 09-05-16 10:41 AM

score 7 · Answer 4

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Min :
Cách 2 :
Không mất tính tq , giả sử : c=max{a,b,c}=>c/a >=1
Sd bđt phụ :
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c} \geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}$
$=>VT >= \frac{2}{1+t}+\frac{t^{2}}{t^{2}+1}$ ( Với $t=\sqrt{\frac{c}{a}},1=<t=<3)$
Tới đây xét hàm với : $f(t)=\frac{2}{1+t}+\frac{t^{2}}{t^{2}+1}$ luôn nghịch biến liên tục trên đoạn $[1;3]$
$=>f(t)>=f(3)=7/5$ (đpcm)
Dấu = xảy ra <=>....