Gọi $x$ là số sách cho mượn về, $y$ là số sách đọc tại thư việnTheo đề ta có: $4x=y (1)$( do số cho cho mượn về chiếm $\frac{1}{5}$ số sách thư viện => số sách còn lại để đọc chiếm $\frac{4}{5}$ số sách thư viện nên ta luôn có $y=4x$ hay $4x=y$)
Sau khi thêm $840$ sách thì sách đọc tại thư viện tăng 1/4 so với ban đầu tức là tăng $\frac{y}{4}$ (quyển sách)
Còn sách cho mượn về tăng gấp đôi, tức là tăng $x$ (quyển so với ban đầu)
=> Ta có số sách tăng lên là: $x+\frac{y}{4}=840 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, rút thế ta được: $x=420,y=1680$
Vậy tổng số sách ban đầu thư viện có là: $420+1680=2100$ (cuốn).