Gọi số dư của 7 số đã cho khi chia cho 4 lần lượt là x1,x2...x7(0≤xi≤3,i=1,2,..6,7)−Nếu trong 7 số dư đó có ≥ 4 số bằng nhau ⇒ dpcm
−Nếu có đúng 3 số bằng nhau, giả sử x1=x2=x3:
Theo Dirichle thì trong 4 số còn lại nhận 3 giá trị nên có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử x4=x5(≠x1)
+ Nếu x1,x4 cùng lẻ hoặc cùng chẵn ⇒ dpcm vì x1+x2+x4+x5⋮4
+ Nếu x1,x4 khác tính chẵn lẻ, giả sử x1 lẻ x4 chẵn
*Nếu x6,x7 cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì ⇒ dpcm vì [x1+x2+x6+x7⋮4x4+x5+x6+x7⋮4
*Nếu x6,x7 khác tính chẵn lẻ, giả sử x6 chẵn x7 lẻ thì ta có dpcm vì x1+x7⋮4 (do x1,x7 là 2 số lẻ và x1≠x7),x4+x5⋮4⇒x1+x4+x5+x7⋮4
−Trong trường hợp còn lại, theo nguyên lý Dirichlet thì 7 số nhận 4 giá trị nên tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau, giả sử x1=x2
+5 số còn lại nhận 3 giá trị nên cũng có ít nhất 2 số bằng nhau, giả sừ x3=x4
*3 số còn lại nhận 2 giá trị nên tương tự giả sử x5=x6
Nên 4 số x1,x3,x5,x7 nhận 4 giá trị khác nhau từ 0→3
Không mất tính tổng quát giả sừ x1≤x3≤x5≤x7
⇒x1=0,x3=1,x5=2,x7=3
Ta có ngay dpcm vì x1+x2+x3+x7⋮4