Bài này có bao nhiêu cách???

Question

Cho $x,y,z$ là 3 số dương và $x+y+z \le 1$. CMR:

$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \ge \sqrt{82}$

c up hết lên xem bọn e còn cách nào r triển tiếp :D
e ms biết có 2 cách à :(, chị up luôn giải đi chị

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/17/2016 11:19:42 AM

Xét các vecto : $\overrightarrow{u}=(x;\frac{1}{x}) ;\overrightarrow{v}=(y;\frac{1}{y}) ; \overrightarrow{w}=(z;\frac{1}{z})$
Có : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} +\overrightarrow{w} =(x+y+z;1/x +1/y + 1/z)$
Theo t/c về độ dài của vt tổng : $|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|+|\overrightarrow{w}| \geq | \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} |$ (1)
$P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$
=> Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{v} ,\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{w} $ là các vt cp , cc
$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u}=k_{1}\overrightarrow{v},k_{1} >0 \\ \overrightarrow{v}=k_{2}\overrightarrow{w}, k_{2} >0 \end{cases}$
Dễ thấy : $ 81(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq 162$
$gt : 0<x+y+z \leq 1\Rightarrow 80(x+y+z)^{2} \leq 80 $
All $\Rightarrow P \geq \sqrt{162-80}=\sqrt{82}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1/3$

tran85295 · Answer 2 · 5/17/2016 10:08:44 AM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

C1: $\sqrt{x^2+\frac 1{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac 1{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac 1{z^2}} \overset{Minkowski}\ge \sqrt{(x+y+z)^2+ \left( \frac 1x+\frac 1y+\frac 1z \right)^2 } $

$\overset{C-S}\ge \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}} \ge \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

C2: $\sqrt{(1+81) \left( x^2 +\frac {1}{x^2} \right)} \overset{C-S}{\ge} x+\frac 9x$

Tương tự $\Rightarrow \sqrt{82}VT \ge x+y+z+\frac 9x+\frac 9y+\frac 9z \ge (x+y+z)+\frac{1}{x+y+z}+\frac{80}{x+y+z} \ge82$

$\Rightarrow$ dpcm

C3: $\sqrt{x^2+\frac 1{x^2}} \overset{\text{BDTD}}\ge \frac{-80x+54}{\sqrt{82}}$

Tương tự cộng lại có ngay dpcm

Trả lời 17-05-16 10:08 AM

tran85295
1

10M 559K

☼SunShine❤️ · Answer 3 · 5/17/2016 1:51:50 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D :
Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$
Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$
$\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$
Lập bảng biến thiên :

$\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$
$\Rightarrow Min P= \sqrt{Mìnf(t)}=\sqrt{82}$ $(0<t \leq 1)$

lịch sử

Sửa 17-05-16 01:51 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K

Trả lời 17-05-16 01:30 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K