Giải hệ phương trình

Question

$\begin{cases} \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=2(x+y)\\ (x+2y)\sqrt{x+2}-4y^2\sqrt y=8y^4 \sqrt y-2\sqrt{x+2} \end{cases}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 5/26/2016 3:11:07 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

ĐKXĐ:.......

Ta có : $\sqrt{2x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{(x-y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x-y)^2}=|x-y|\geq (x-y)$

Tương tự ta có

$\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=\sqrt{(x+3y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x+3y)^2}=|x+3y|\geq x+3y$

Dấu bằng xảy ra khi x=2y và x-y

$\geq 0; x+3y\geq 0$

Cộng vế với vế ta có VT

$\geq VP$

Từ pt (1) của hệ suy ra x=2y

Thay y=

$\frac{x}{2}$ vào pt 2 sau đó nhân liên hợp nghiệm x=2 là xong ( phần biểu thức nhân liên hợp còn lại dễ thấy vô nghiệm từ ĐKXĐ)

Từ đó suy ra y=1 kiểm tra lại với đk và kết luận

lịch sử

Sửa 26-05-16 03:11 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
1

698K 307K

Trả lời 26-05-16 03:10 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
1

698K 307K

tks =))) – Ngự tỷ 26-05-16 05:36 PM

tran85295 · Answer 2 · 5/26/2016 12:39:12 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

Đk

$...,y \ge0$

Nhận thấy

$y=0$ ko thõa nghiệm của hpt

Chia 2 vế

$pt(1)$ cho

$y >0$

$\Rightarrow \sqrt{2\left( \frac xy \right)^2-6\left( \frac xy \right)+5}+\sqrt{2\left( \frac xy \right)^2+2\left( \frac xy \right)+13}=2\left[ \left( \frac xy \right) +1 \right]$

$\Leftrightarrow \sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$ (

$a=\frac xy$ )

$\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a= 2 \Leftrightarrow x=2y$

Thế vào

$pt(2)$ :

$\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y$

$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)$

$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)$

$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3$

$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3$

$\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)$

$\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0$

Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn

$>0 \forall y \ge0$

$\Rightarrow y=1$

$\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}$

____________________________________________

P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra

$VT \ge VP$ (có dấu bẳng xảy ra khi

$x=2y$ )

lịch sử

Sửa 26-05-16 12:39 PM

tran85295
1

10M 559K

Trả lời 26-05-16 12:13 PM

tran85295
1

10M 559K

hehe tick vào dấu "V" và vote up, thanks – tran85295 26-05-16 05:37 PM

tks nha, thực ra giải ra r cơ mà đăng lên xem đúng ko :)) – Ngự tỷ 26-05-16 05:35 PM

hoặc xin tài liệu của a Khờ ấy – tran85295 26-05-16 01:53 PM

lên google search thử đi trường – tran85295 26-05-16 01:53 PM

minkowsk. cái đó học ở đâu vậy – nguyenquangtruonghktcute 26-05-16 01:24 PM

ok e hiểu r – tran85295 26-05-16 12:29 PM

bài này nên chia cho y>0. còn x có thể âm, do đó khi chia cho x sẽ có 2 TH: x dương thì như trên; x âm thì phải có dấu âm trước căn. – Bùi Cao Thắng 26-05-16 12:17 PM