Gọi H là trung điểm $AB \Rightarrow SH \perp (ABCD)$ Ta tính được : $HD=\sqrt{AH^{2}+AD^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
$SH=\sqrt{SD^{2}-HD^{2}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{4}-\frac{5a^{2}}{4}}=a^{2}$
Ta có : $\frac{d_{(A;(SBD))}}{d_{(H;(SBD))}}=\frac{AB}{HB}=2$
$\Rightarrow d_{(A;(SBD))}=2.d_{(H;(SBD))}$
Kẻ $HK \perp BD \Rightarrow HK // AC$
mà H là trung điểm $AB \Rightarrow HK = \frac{OA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Kẻ $HI \perp SK $
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l} BD \perp HK\\ BD \perp SH \end{array} \right.\Rightarrow BD \perp (SHK)$
$\Rightarrow BD \perp IH$, mà $IH \perp SK \Rightarrow IH \perp (SBD) $
$\Rightarrow d_{(H;(SBD))}=HI$
Xét $\Delta SHK$ có : $\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HK^{2}}$
$\Rightarrow HI=\frac{a}{3}\Rightarrow d_{(A;(SBD))}=\frac{2a}{3}$