Xét $n=1\implies 1+P_1=1+1=2=P_2$.Giả sử đẳng thức trên đúng với $n=k,k\ge 2$.
Khi đó ta có: $1+P_1+2P_2+...+kP_k=P_{k+1}$.
Ta đi chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$.
Thật vậy: Ta có: $1+P_1+...+(k+1)P_k=P_{k+1}+(k+1)P_k=1.2...(k+1)+(k+1)[1.2...(k+1).]=1.2....(k+1)(k+1+1)=P_{k+2}$.
Vậy theo giả thiết quy nạp ta có dpcm