Vì $: n(n^2+1)(n^2+4)$ luôn chia hết cho 5 $\forall n\in N , có :120=5.24=5.8.3 $ và (8;3) =1Đặt $A= n.(n^2+1)(n^2+4) , có (8;1)=1\Rightarrow A$ chia hết cho 8 và $A$ chia hết cho 3
$+) A $ chia hết cho 8
Nếu $n $ là số tự nhiên lẻ thì $n$ và $n^2+4$ lẻ nên để $A$ chia hết cho 8 $\Rightarrow n^2+1$phải chia hết cho 8 $\Rightarrow $ không có giá trị nào của $n$ thỏa mãn
Nếu $n $ là số tự nhiên chẵn thì $n .(n^2+4)$ chia hết cho 8 $\Rightarrow A $ chia hết cho 8
$+) A$ chia hết cho 3
Ta có :
$n=0;1;2$
$n^2=0;1;1$
$n^2+1=1;2;2$
$n^2+4=1;2;2$
$\Rightarrow n $ chia hết cho 3 thỏa mãn $A$ chia hết cho 3
$\Rightarrow $ công thức tổng quát : $n=6k( với :k \in N)$