help!

Question

Rút gọn tổng sau: S=$a_{0}+\frac{1}{2}a_{1}+\frac{1}{3}a_{2}+...+\frac{1}{100}a_{99}+\frac{1}{101}a_{100}$, trong đó:
$(x-2)^{100}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{99}x^{99}+a_{100}x^{100}$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Khai triển $(x-2)^{100}$ = $C^{k}_{100}(-2)^{n-k}x^{k}$ hoặc $C^{k}_{100}(-2)^{k}x^{n-k}$

Ta có $a_{0}$ = $C^{0}_{n}(-2)^{100}$

$a_{1}$ = $C^{1}_{100}(-2)^{99}$

...............................

Áp dụng $\frac{1}{k+1}C^{k}_{n} = \frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1} $ ( Chứng minh nhân hết ra)

Suy ra : $ a_{0} = \frac{1}{1}C^{0}_{100} (-2)^{100} = \frac{1}{101}C^{1}_{101} (-2)^{100} $

$ \frac{1}{2} a_{1} = \frac{1}{2}C^{1}_{100} (-2)^{99} = \frac{1}{101}C^{2}_{101} (-2)^{99} $

Đặt $\frac{1}{101}$ ra ngoài trong còn $C^{1}_{101} (-2)^{100} + C^{2}_{101} (-2)^{99} +..... +C^{101}_{101} + C^{0}_{101}( -2)^{101} - C^{0}_{101} (-2)^{101} $

=1 -$C^{0}_{101} (-2)^{101}$

Vậy $S= \frac{1+2^{101}}{101}$

lịch sử