Có $\frac 11=\frac 11$
$\frac 12=\frac 12$
$\frac 13+\frac 14>\frac 12$
$\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18>\frac 12$
...
$\frac 1{2^{n-1}+1}+...+\frac 1{2^n}>\frac 12$
Cộng vế theo vế $S_n>1+\frac n2 \forall n\in \mathbb{N}^*$
Mà $\lim \left(1+\frac n2\right)=+\infty$
Suy ra $\lim S_n=+\infty$
$\Rightarrow $ dpcm