Đặt $\frac{y^3}{x^3}=a,\frac{x^3}{y^3}=b,(a>0,b>0,ab=1)$Khi đó $P=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac 2{\sqrt{1+(b+1)^3}}=\frac 1{\sqrt{(1+2a)(1-2a+4a^2)}}+\frac 2{\sqrt{(b+2)(b^2+b+1)}}$
$\overset{Cô-si}\ge \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+2a+1-2a+4a^2)^2}{4}}}+\frac{2}{\sqrt{\frac{(b+2+b^2+b+1)^2}{4}}}$
$=\frac{1}{2a^2+1}+\frac{4}{b^2+2b+3}=\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{4}{b^2+2b+3}$
Tới đây dễ bạn tự làm tiếp, min=1