Bài 100280

Question

Trong không gian với hệ trục toạ độ

$Oxyz$ cho

$(P):x + 2y - z + 5 = 0$ và đường thẳng

$(d):\frac{{x + 3}}{2} = y + 1 = z - 3$ , điểm

$A( -2; 3; 4)$ . Gọi

$d'$ là đường thẳng nằm trên

$(P)$ đi qua giao điểm của

$( d)$ và

$(P)$ đồng thời vuông góc với

$d$ . Tìm trên

$d'$ điểm

$M$ sao cho khoảng cách

$AM$ ngắn nhất.

score 0 · Answer 1

Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} x = 2t - 3\\ y = t - 1\\ z = t + 3 \end{array} \right.$
Gọi I là giao điểm của (d) và (P)

$\Rightarrow I\left( {2t - 3;t - 1;t + 3} \right)$
Do

$I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 3 + 2(t - 1) - (t - 3) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( { - 1;0;4} \right)$
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là

$\overrightarrow u= (2;1;1)$ , mp( P) có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow n =\left( {1;2; - 1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 3;3;3} \right)$ . Gọi

$\overrightarrow u_\Delta$ là vectơ chỉ phương của

$\Delta$

$\Rightarrow \overrightarrow u_\Delta= \left( { - 1;1;1} \right)$

$\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - u\\ y = u\\ z = 4 + u \end{array} \right.$ . Vì

$M \in \Delta \Rightarrow M\left( { - 1 - u;u;4 + u} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} \left( {1 - u;u - 3;u} \right)$
AM ngắn nhất

$\Leftrightarrow AM \bot \Delta$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow - 1(1 - u) + 1(u - 3) + 1.u = 0$

$\Leftrightarrow u = \frac{4}{3}$ .
Vậy

$M\left( {\frac{{ - 7}}{3};\frac{4}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$

Bài 100280

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100280

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan