Bài 100614

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ

$Oxy$ cho cho hai đường thẳng

$d_1:2x - y + 5 = 0$ ;

$d_2: 3x +6y – 7 = 0$ . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm

$P( 2; -1)$ sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng

$d_1$ và

$d_2$ tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng

$d_1, d_2.$

score 0 · Answer 1

Cách 1:
d1 có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {{a_1}} (2; - 1)$ ; d2 có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {{a_2}} (3;6)$
Ta có:

$\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} = 2.3 - 1.6 = 0$ nên

${d_1} \bot {d_2}$ và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:

$d:A(x - 2) + B(y + 1) = 0 \Leftrightarrow Ax + By - 2A + B = 0$
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2A - B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \cos {45^0} \Leftrightarrow 3{A^2} - 8AB - 3{B^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 3B\\ B = - 3A \end{array} \right.$
Nếu A = 3B ta có đường thẳng

$d:3x + y - 5 = 0$
Nếu B = -3A ta có đường thẳng

$d:x - 3y - 5 = 0$
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.

$d_1:3x + y - 5 = 0$

$d_2:x - 3y - 5 = 0$

Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.
Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình

$\frac{{\left| {2x - y + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| {3x + 6y - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2}} }} \Leftrightarrow 3\left| {2x - y + 5} \right| = \left| {3x + 6y - 7} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - 9y + 22 = 0{\rm{ (}}{\Delta _{\rm{1}}})\\ 9x + 3y + 8 = 0{\rm{ (}}{\Delta _{\rm{2}}}) \end{array} \right.$
+) Nếu

$d // \Delta_1$ thì d có phương trình

$3x - 9y + c = 0$ .
Do P

$\in$ d nên

$6 + 9 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 15 \Rightarrow d:x - 3y - 5 = 0$
Nếu

$d // \Delta_2$ thì d có phương trình

$9x + 3y + c = 0$ .
Do P

$\in$ d nên

$18 - 3 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 15 \Rightarrow d:3x + y - 5 = 0$
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.

$d_1:3x + y - 5 = 0$

$d_2:x - 3y - 5 = 0$