Bài 100726

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho $2$ đường tròn: $(C_1 ): x^2 + y^2 = 9 $ và $(C_2 ): x^2 + y^2-2x - 2y - 23 = 0 $. Viết phương trình trục đẳng phương $d$ của $2$ đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$. Chứng minh rằng nếu $K$ thuộc $d$ thì khoảng cách từ $K$ đến tâm của $(C_1)$ nhỏ hơn khoảng cách từ $K$ đến tâm của ( $C_2 )$.

score 0 · Answer 1

Đường tròn $ \left( {{C_1}} \right) $ có tâm $ O\left( {0,0} \right) $ bán kính $ {R_1} = 3 $
Đường tròn $ \left( {{C_2}} \right) $ có tâm $ I\left( {1,1} \right) $ , bán kính $ {R_2} = 5 $
Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn $ \left( {{C_1}} \right) $ , $ \left( {{C_2}} \right) $ là $ \left( {{x^2} + {y^2} - 9} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 23} \right) = 0 $
$ \Leftrightarrow x + y + 7 = 0 $ (d)
Gọi $ K\left( {{x_k},{y_k}} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow {y_k} = - {x_k} - 7 $
$ O{K^2} = {\left( {{x_k} - 0} \right)^2} + {\left( {{y_k} - 0} \right)^2} = x_k^2 + y_k^2 = x_k^2 + {\left( { - {x_k} - 7} \right)^2} = 2x_k^2 + 14{x_k} + 49 $
$ I{K^2} = {\left( {{x_k} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_k} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_k} - 1} \right)^2} + {\left( { - {x_k} - 8} \right)^2} = 2x_k^2 + 14{x_k} + 65 $
Ta xét $ I{K^2} - O{K^2} = \left( {2x_k^2 + 14{x_k} + 65} \right) - \left( {2x_k^2 + 14{x_k} + 49} \right) = 16 > 0 $
Vậy $ I{K^2} > O{K^2} \Leftrightarrow IK > OK$ (đpcm).

Bài 100726

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100726

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan