|
|
$1)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
2^x-4^x>0 \\\log_\frac{1}{2}(2^x-4^x)>0\end{array} \right.$
Khi đó BPT đã cho tương đương
$0 < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} - {4^x}} \right) \le 2$
$\Leftrightarrow \,\,\,\frac{1}{4} \le {2^x} - {4^x} < 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2^{2x}-2^x+\frac{1}{4}\leq 0\\ 2^{2x}-2^x+1>0 \end{array} \right.$
$
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left ( 2^x-\frac{1}{2} \right )^2\leq 0\\ \left ( 2^x-\frac{1}{2} \right )^2 +\frac{3}{4}>0 \end{array} \right. \Rightarrow 2^x=\frac{1}{2}(TM)\Leftrightarrow x=-1$
Vậy BPT có nghiệm $x=-1$.
$2)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x>0\\ x\notin\left\{ {1;\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right\} \end{array} \right.$
Khi đó BPT đã cho tương đương
$\frac{1}{\log_2x}.\frac{1}{\log_22x}>\frac{1}{\log_24x}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\log_2x(\log_2x+1)}>\frac{1}{\log_2x+2}$
Đổi ra cơ số 2 và đặt $t = {\log _2}x$
$\Rightarrow \frac{1}{t^2+t}>\frac{1}{t+2}$
$\Leftrightarrow
\frac{1}{t^2+t}-\frac{1}{t+2} >0$
$\Leftrightarrow \frac{(t+2)-(t^2+t)}{t(t+1)(t+2)}>0$
$\Leftrightarrow (t^2-2)t(t+1)(t+2)<0$.
Lập bảng xét dấu, ta rút ra được
$\left[ \begin{array}{l} 0<t<\sqrt2\\ t<-2\\-\sqrt2<t<1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < x < {2^{\sqrt 2 }}\\0 < x < \frac{1}{4}\\\frac{1}{{{2^{\sqrt 2 }}}} < x < 1,\,\,x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.(TM)$
Vậy nghiệm BPT đã cho là:
$\left[ \begin{array}{l} 1 < x < {2^{\sqrt 2 }}\\0 < x < \frac{1}{4}\\\frac{1}{{{2^{\sqrt 2 }}}} < x < 1,\,\,x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.$
$3)$
Điều kiện: $
\left\{ \begin{array}{l} x>0\\ x\notin\left\{ {1;\frac{1}{4};\frac{1}{16}} \right\} \end{array} \right. $
Khi đó BPT đã cho tương đương
$\frac{3}{\log_4x}+\frac{2}{\log_44x}+\frac{3}{\log_416x}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{3}{\log_4x}+\frac{2}{\log_4x+1}+\frac{3}{\log_4x+2}\geq 0 $
Chọn $4$ làm cơ số, đặt $t = {\log _4}x$
$\Rightarrow
\frac{3}{t}+\frac{2}{t+1}+\frac{3}{t+2}\geq 0 $
$\Leftrightarrow \frac{3(t+1)(t+2)+2t(t+2)+3t(t+1)}{
t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) }\geq 0$
$\Leftrightarrow
\frac{{4{t^2} + 8t + 3}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \ge 0 $
Giải $\frac{{4{t^2} + 8t + 3}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
Ta có $
\left[ \begin{array}{l}
-2<t\leq -\frac{1}{2}-1\\
-1<t\leq
-\frac{1}{2} \\
t>0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{16}} < x \le \frac{1}{8}\\
\frac{1}{4} < x \le \frac{1}{2}\\
x > 1
\end{array} \right.(TM)$
Vậy nghiệm của BPT là $
\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{16}} < x \le \frac{1}{8}\\
\frac{1}{4} < x \le \frac{1}{2}\\
x > 1
\end{array} \right. .$
|