Bài 101433

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ cho đường thẳng

$\Delta \,:\,\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=2t\\ z=1 \end{array} \right.$ và điểm

$A(1;0; - 1)$ . Tìm tọa độ các điểm

$E$ và

$F$ thuộc đường thẳng

$\Delta$ để tam giác

$AEF$ là tam giác đều.

score 0 · Answer 1

Đường thẳng

$\Delta$ đi qua

${M_0}(0\,,\,0\,,\,1)\,$ và có vtcp

$\mathop u\limits^ \to (1\,,\,2\,,\,0)$ ;

$\mathop {{M_0}A}\limits^ \to = \,(1\,,0\,, - 2)\,;\,\,\left[ {\mathop {{M_0}A}\limits^ \to \,,\,\mathop u\limits^ \to } \right]\,\, = \,\,(\,4\,,\, - 2\,,\,2)$
+ Khoảng cách từ A đến

$\Delta$ là AH =

$d(A\,,\,\Delta )\,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\mathop {{M_0}A}\limits^ \to \,,\,\mathop u\limits^ \to } \right]} \right|}}{{\left| {\mathop u\limits^ \to } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{2\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\,$
+ Tam giác AEF đều

$\Rightarrow \,AE\,\, = \,\,AF\, = \,AH.\frac{2}{{\sqrt 3 }}\,\, = \,\,\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}$ .
Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R =

$\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}$
và đường thẳng

$\Delta$ , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :

$\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 2t\\ z = 1\\ {(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = \frac{{32}}{5} \end{array} \right.$
t =

$\frac{{1 \mp \,2\sqrt 2 }}{5}\,\,\,$ suy ra tọa độ E và F là:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{5}\\ y = \frac{{2 - 4\sqrt 2 }}{5}\\ z = 1 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{5}\\ y = \frac{{2 + 4\sqrt 2 }}{5}\\ z = 1 \end{array} \right.$

Bài 101433

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101433

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan