|
|
Ta tìm cặp $(x,y)$thỏa $(1)$. Điều kiện $x > 0,x \ne 1$
Đặt $t = {\log _2}x$ ta có $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t + \frac{1}{t} + 2\cos\,y \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
$ \Leftrightarrow \,\,\,\,t + \frac{1}{t} \le - 2\cos\,y$
Ta có $\left| {t + \frac{1}{t}} \right| \ge 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| { - 2\cos\,y} \right| \le 2$
Với $t>0$, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l} t=\frac 1 t=2\\ \cos y=-1 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=1\\ y=\pi+2k\pi \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=\pi+2k\pi \end{array} \right.$
Với $t < 0:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
t + \frac{1}{t} \le - 2\\
- 2\cos\,y \ge - 2
\end{array} \right.$ suy ra :
$t + \frac{1}{t} \le - 2 \le - 2\cos\,y \Leftrightarrow \,\,\,t + \frac{1}{t} + 2\cos\,y \le 0\,\,\, \Rightarrow $$(2)$ thỏa
Do đó với $t < 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\log _2}x < 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 < x < 1$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình$(1)$ :$\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \pi + k2\pi
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
y \in R
\end{array} \right.$
|