|
|
$1.$
Điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l} 1\ne x>0\\ 1\ne y>0\\x-y>0 \end{array} \right.$
Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac 1{x+y}=x-y\\ xy=\sqrt{2} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1=x^2-y^2\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^4-x^2-2=0\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right.
\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2=2\vee x^2=-1(loại)\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt2\\ y=1 \end{array} \right.
$
Đáp số:$(\sqrt2,\,\,1)$
$2)$
Điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l} x>0\\y>0 \end{array} \right.$
Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l} (\log_2x+\log_2y)(\log_2x-\log_2y)=-3\\ (\log_2x)^2+(\log_2y)^2=5 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (\log_2x)^2-(\log_2y)^2=-2\\ (\log_2x)^2+(\log_2y)^2=5 \end{array} \right.
\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (\log_2x)^2=1\\ (\log_2y)^2=4 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_2x=\pm 1\\ \log_2y=\pm2 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2\vee x=\frac 12\\ y=4\vee \frac14 \end{array} \right.$
Vậy hệ có $4$ nghiệm: $(2;4)(\frac12;4)(2;\frac14)(\frac12; \frac14)$
$3)$
Điều kiện:
$x>0$
Ta có, $x^2=1+6\log_4x\Leftrightarrow x^2-1-3\log_2x=0$
Đặt $f(x)=x^2-1-3\log_2x$ (với $x>0$)
ta có: $f'(x)=2x-\frac3{x\ln 2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}$
Với $0<x<\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}$ thì nhận thấy $f(x)$ nghịch biến. Có $f(1)=0\Leftrightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất trong khoảng $(0;\sqrt{\frac3 {2\ln 2}})$
Khi $x=1$ ta có: $y^2=2y+8\Leftrightarrow y=4\vee y=-2 (loại)$
Với $\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}<x$ thì nhận thấy $f(x)$ đồng biến. Lại có: $f(2)=0\Rightarrow x=2$ là nghiệm duy nhất trong khoảng $(\sqrt{\frac3 {2\ln 2}};+\infty)$
Khi $x=2$ ta có: $y^2=4y+32\Leftrightarrow y=8\vee y=-4 (loại)$
Vậy nghiệm $(x,y)$ của hệ là: $(1;4);(2;8)$
$4)\,\,$Điều kiện: $x,\,y,\,z\, > 0$
Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}x\sqrt {yz} = 2\\
{\log _3}y\sqrt {xz} = 2\\
{\log _4}z\sqrt {xy} = 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}yz = 16\\
{y^2}xz = 81\\
{z^2}xy = 256
\end{array} \right.$
Suy ra: $(xyz)^4=16.81.256\Rightarrow xyz=24
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{16}{24}=\frac23\\ y=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}\\z=\frac{256}{24}=\frac{32}{3} \end{array} \right.$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm $(x,y,z)$ của hệ là: $\left( {\frac{2}{3},\,\frac{{27}}{8},\,\frac{{32}}{3}} \right)$
|