|
|
Viết $f(x) = 9\frac{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} + 3{\rm p}\frac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}} + q$
Đặt $t = \frac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}}=1-\frac{2}{2^x+1} $ Với $ - 1 \le x \le 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\, - \frac{1}{3} \le t \, \le \frac{1}{3}$
$\begin{array}{l}
F(t) = 9{t^2} + 3{\rm p}t + q\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{F^ / }(t) = 18t + 3{\rm p}\\
{F^ / }(t) = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t = - \frac{{\rm p}}{6}
\end{array}$
Hàm số $F(t) = 9{t^2} + 3{\rm p}t + q$ nghịch biến trong $\left( { - \infty , - \frac{{\rm p}}{6}} \right)$ và đồng biến trong $\left( { - \frac{{\rm p}}{6},\, + \infty } \right)$
$a)\,\,\, - \frac{{\rm p}}{6} \le - \frac{1}{{3\,}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\rm p} \ge 2$
Hàm số tăng trên $\left[ { - \frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right]$ nên
$M = \mathop {Max}\limits_{ - 1 \le x \le 1} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {Max}\limits_{ - \frac{1}{3} \le t \le \frac{1}{3}} \left| {F\left( t \right)} \right| = \mathop {Max}\limits_{} \left[ {\left| {F\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right|,\left| {F\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right|} \right]$
M nhỏ nhất khi $F\left( {\frac{1}{3}} \right) = - F\left( { - \frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 + {\rm p} + q = - \left( {1 - {\rm p} + q} \right)$
$ \Leftrightarrow \,\,\,q = - 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,M = \left| {\rm p} \right|$. Do ${\rm p} \ge 2$nên $\min \,{\rm p} = 2$
Với ${\rm p} \ge 2$ thì $\min M = 2$khi ${\rm p} = 2,\,\,q = - 1$
$b)\,\,\, - \frac{1}{3} \le - \frac{{\rm p}}{6} \le 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 \le \,{\rm p} \le \,2$
$\,\,\,\,\,M = \mathop {Max}\limits_{} \left[ {\left| {F\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right|,\left| {F\left( { - \frac{{\rm p}}{6}} \right)} \right|} \right]$ nhỏ nhất khi
$F\left( {\frac{1}{3}} \right) = - F\left( { - \frac{{\rm p}}{6}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 + {\rm p} + q = - \left( {q - \frac{{{{\rm P}^2}}}{4}} \right)$
$ \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {{\rm p} - 2} \right)^2}\,\,8\left( {1 + q} \right),$ từ đó: $M = 1 + {\rm p} + q = {\rm p} + \frac{{{{\left( {{\rm p} - 2} \right)}^2}}}{8} = \frac{{{{\left( {{\rm p} + 2} \right)}^2}}}{8}$
M nhỏ nhất khi ${\rm p} = 0\,\,\,$và $\min \,M\, = \frac{1}{2}$
${\rm p} = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,q = - \frac{1}{2}$
$c)\,\,\,0 \le - \frac{{\rm p}}{6} \le \frac{1}{3}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - 2 \le {\rm p} \le 0$
Tương tự như trường hợp $b)$ ta có:
$\min \,M = \frac{1}{2},\,\,\,{\rm p} = 0,\,\,q = - \frac{1}{2}$
$d)\,\,\,\frac{1}{3} \le - \frac{{\rm p}}{6}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\rm p} \le - 2$
Tương tự như trường hợp $a)$ ta có: $\min \,M = 2,\,\,\,{\rm p} = - 2,\,\,q = - 1$
Từ $4$ trường hợp trên ta suy ra:
- Khi ${\rm p} = 0,\,\,q = - \frac{1}{2}$ thì $\mathop {Max}\limits_{ - \frac{1}{3} \le t \le \frac{1}{3}} \left| {F\left( t \right)} \right|$$ = \mathop {Max}\limits_{ - 1 \le x \le 1} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{2}$
|