|
|
$1$. \({x^2} + {y^2} - 2my = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2}\). Đường tròn $(C)$ có tâm $E(0, m)$,bán kính $|m|$. Vì $E(0, m)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình $(D)$ nên \(\forall m\), $(D)$ luôn đi qua tâm $(C); (D)$ luôn đi qua một điểm cố định $A(1, 0)$.
$2$. Tọa độ giao điểm $(C)$ và $(D)$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2my = 0\,\,\,(3)\\
y = - mx + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)
\end{array} \right.\)
Thế $(4)$ vào $(3)$ ta được \(\left( {1 + {m^2}} \right){x^2} - {m^2} = 0\) luôn có nghiệm \(x = \pm \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\).
Vậy với mọi $m$, đường thẳng $(D)$ luôn cắt $(C)$ tại $2$ điểm, tọa độ của các giao điểm thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2my = 0\,\,\,\\
y = - mx + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2}({x^2} - 1) = - {x^2}\\
y = m\left( { - x + 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = \frac{{ - {x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\
{y^2} = {m^2}.{\left( { - {x} + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {y^2} = \frac{{ - {x^2}}}{{{x^2} - 1}}.{\left( { - x + 1} \right)^2} \Rightarrow {y^2} = \frac{{ - {x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}
\end{array}\)
Quỹ tích các giao điểm là đường cong có phương trình \({y^2}\left( {x + 1} \right) + {x^2}\left( {x - 1} \right) = 0\).
|
|
|
Đăng bài 27-04-12 10:54 AM
|
|