Bài 102087

Question

Cho hàm số $y = \frac{{\left( {a - 1} \right){x^3}}}{3} + {ax^2} + \left( {3a - 2} \right)x$
$1$. Tìm điều kiện của tham số $a$ để hàm số
$a)$ Luôn luôn đồng biến
$b)$ Có đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt
$2$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với $a = \frac{3}{2}$ rồi từ đó suy ra đồ thị hàm số $|y| = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 9:18:48 AM

$1. a)$
Hàm số luôn đồng biến $ \Leftrightarrow y' = \left( {a - 1} \right){x^2} + 2ax + 3a - 2 \ge 0\,\,\,\forall x$
Xét các trường hợp:
Khi $a = 1$ thì $y' = 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x \ge- \frac{1}{2}$ không thỏa mãn đề bài
Khi $a \ne 1$ thì $y' \ge 0\, \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 > 0\\
\Delta ' = {a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow a \ge 2$

$b)$ $y = 0 \Leftrightarrow x\left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right){x^2}}}{3} + {\rm{ax}} + 3a - 2} \right] = 0$
$\Leftrightarrow x\left[ {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow$$\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 \ne 0\\
\Delta = 9{a^2} - 4\left( {a - 1} \right)\left( {9a - 6} \right) > 0\\
9a - 6 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \,\,\frac{{10 - \sqrt {28} }}{9} < a < \frac{2}{3};\,\frac{2}{3} < a < 1;\,1 < a < \frac{{10 + \sqrt {28} }}{9}
\end{array}$

$2$.

Khi $a = \frac{3}{2}$ thì hàm số trở thành $y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$.
Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị.

Để vẽ đồ thị của $|y| = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\,\,\left( 1 \right)$
Cần chú ý rằng $(1)$ $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} \ge 0\\
y = \pm \left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right)
\end{array} \right.$
Do đó đồ thị cần vẽ có thể suy ra từ đồ thị $y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$ bằng cách sau:
Lấy đồ thị $y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$ phần ở phía trên trục hoành (bỏ đi phần phía dưới trục hoành) rồi lấy thêm đối xứng qua trục hoành.

Bài 102087

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102087

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan