Bài 102309

Question

Cho phương trình:

$x^3 + (m + 1)x^2 + 2(m - 2)x - 3m + 2 = 0$
a. Định

$m$ để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.
b. Với những giá trị nào của

$m$ thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
c. Tìm

$m$ để đồ thị hàm số

$y = x^3 + (m + 1)x^2 + 2(m - 2)x - 3m + 2$ tiếp xúc với trục

$Ox$ .

score 0 · Answer 1

a. Phương trình (1) có tổng các hệ số triệt tiêu nên có nghiệm đặc biệt là x = 1.
Do đó :

$(1) \Leftrightarrow (x - 1)\left[ {{x^2} + (m + 2)x + 3m - 2} \right] = 0$
Để (1) có 3 nghiệm dương phân biệt thì chỉ còn phương trình

$f\left( x \right) = (1) = {x^2} + (m + 2)x + 3m - 2 = 0$ (2)
có 2 nghiệm dương phân biệt

${x_1},{x_2} \ne 1$
Giả sử

$0 < {x_1} < {x_2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = {(m + 2)^2} - 4(3m - 2) > 0\\ f(0) = 3m - 2 > 0\\ 0 < \frac{{m + 2}}{2}\\ f(1) = 4m + 1 \ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 8m + 12 > 0\\ m > \frac{2}{3}\\ m > - 2;m \ne - \frac{1}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} < m < 2 \vee m > 6 \end{array}$

b. Phương trình có 1 nghiệm

$x = 1 < 2$ .
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 thì chỉ cần phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt

${x_1},{x_2} < 2$ và khác 1.
Ta có:

$\begin{array}{l} m < 2 \vee m > 6\\ f\left( 2 \right) = 5m + 6 > 0\\ 2 > \frac{{m + 2}}{2}\\ \Rightarrow - \frac{6}{5} < m < 2 \vee m > 6 \wedge m \ne - \frac{1}{4} \end{array}$
c. Phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị và trục hoành là :

${x^3} + (m + 1){x^2} + 2(m - 2)x - 3m + 2 = 0$ (1)

$\Leftrightarrow (x - 1)\left[ {{x^2} + (m + 2)x + 3m - 2} \right] = 0$
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm số kép.

$x = 1$ là nghiệm kép của (1)

$\Leftrightarrow {x^2} + (m + 2)x + 3m - 2 = 0$ có nghiệm kép.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 + (m + 2) + 3m - 2 = 0\\ {m^2} - 8m + 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - \frac{1}{4}\\ m = 2 \vee m = 6 \end{array} \right. \end{array}$
Vậy ta phải có

$m \in \left\{ { - \frac{1}{4},2,6} \right\}$

Bài 102309

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102309

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan