Bài 102562

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
$ \left\{ \begin{array}{l}
x^2 + 7x - 8 < 0 (1)\\
a^2x + 1 > 3 + (3a - 2)x (2)
\end{array} \right. $

score 1 · Answer 1

Ta có: $ (1) \Leftrightarrow - 8 < x < 1 $
Muốn cho hệ (*) vô nghiệm thì (2) có nghiệm $ x \notin \left( { - 8;1} \right) \Leftrightarrow x \le - 8 \vee x \ge 1 $ hoặc (2) vô nghiệm.
Ta có:
$ \begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow ({a^2} - 3a + 2)x > 2\,\,\,\,\,(3)\\
{a^2} - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow a < 1 \vee a > 2.\\
{a^2} - 3a + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < a < 2.
\end{array} $
Ta xét khả năng sau:
1. Khi a = 1 V a=2: (3) vô nghiệm. $ \Leftrightarrow $ (2) vô nghiệm $ \Leftrightarrow $ hệ (*) vô nghiệm.
2. Khi a < 1: $ (3) \Leftrightarrow x > \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}} $
Để hệ (*) vô nghiệm, chỉ cần $ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow {a^2} - 3a \le 0\Leftrightarrow 0 \le a \le 3
\end{array} $
Đối chiếu điều kiện, ta có: $ 0 \le a < 1 $
3. Khi 1 < a <2: $ \left( 3 \right) \Leftrightarrow x < \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}} $
Hệ (*) vô nghiệm khi $ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}} \le - 8 \Leftrightarrow 8{a^2} - 24a + 18 \ge 0
\Leftrightarrow 2{(2a - 3)^2} \ge 0
\end{array} $ thỏa mãn $ \forall a. $
Đối chiếu điều kiện,ta có: $ 1 < a < 2 $
4. Khi a > 2: $ (3) \Leftrightarrow x > \frac{2}{{^{{a^2} - 3a + 2}}} $
Hệ (*) vô nghiệm khi $ \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow 0 \le a \le 3 $
Đối chiếu điều kiên, ta có: $ 2 < a \le 3 $
Vậy hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi: $ 0 \le a \le 3 $

Bài 102562

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102562

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan