|
|
Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R=2√5.
Để xác định phương trình tiếp tuyến, ta có ba cách giải sau:
Cách 1: Đường thẳng (d) với hệ số góc k=2 có dạng:
y=2x+m⇔(d):2x−y+m=0(1)
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đường tròn (C)
⇔d(I,(d))=R⇔|4−1+m|√4+1=2√5⇔|m+3|=10⇔[m1=7m2=−13
* Với m1=7, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1):2x−y+7=0
* Với m2=−13, thay vào (1) được tiếp tuyến (d2):2x−y−13=0
Vậy có hai tiếp tuyến là (d1),(d2) của (C) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d):(x−2)(x0−2)+(y−1)(y0−1)=20
⇔(d):(x0−2)x+(y0−1)y−2x0−y0−15=0(1)
Vì M(x0;y0)∈(C)
⇔(x0−2)2+(y0−1)2=20(2)
Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi:
−x0−2y0−1=2⇔x0−2=−2(y0−1)(3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2),(3) ta được: [x0=−2,y0=3x0=6,y0=−1
* Với M1(−2;3), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d1):2x−y+7=0
* Với M2(6;−1), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d2):2x−y−13=0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1),(d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cách 3: Họ tiếp tuyến (d1) của (C) có dạng:
(d1):(x−2)sint+(y−1)cost=2√5(1)
Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi:
−sintcost=2⇔sint=−2costsin2t+cos2t=1→{sint=−2cost4cos2t+cos2t=1
⇔{sint=−2costcost=±1√5⇔[cost=1√5,sint=−2√5cost=−1√5,sint=2√5
* Với cost=1√5,sint=−2√5, thay vào (1) ta được: (d1):2x−y+7=0 và tọa độ tiếp điểm M1(−2;3).
* Với cost=−1√5,sint=2√5, thay vào (1) ta được: (d2):2x−y−13=0 và tọa độ tiếp điểm M2(6;−1).
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1),(d2) tới đường tròn (C) thỏa mãn đề bài.
|