|
|
Xét đường tròn $(C)$ có tâm $I(1,2)$ và bán kính $R=1$
Ta có:
$d(I,d)=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}>1=R$
Do đó, qua $M\in (d)$ luôn kẻ được hai tiếp tuyến $MT_1,MT_2$ tới $(C)$.
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
$(d):\begin{cases}x= 1+t\\ y=t \end{cases},t\in R$
Khi đó $M\in (d)\Rightarrow M(1+t,t)$ .
Giả sử tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến qua $M$ tới $(C)$ là $T(x_1,y_1)$, ta có:
- Tiếp tuyến có dạng: $(x-1)(x_1-1)+(y-2)(y_1-2)=1$
- Tiếp tuyến trên đi qua điểm $M$, ta có: $t(x_1-1)+(t-2)(y_1-2)=1 (1)$
Nhận thấy tọa độ $T_1T_2$ đều thỏa mãn $(1)$, vậy phương trình $(T_1T_2)$ có dạng:
$t(x-1)+(t-2)(y-2)=1\Leftrightarrow (T_1T_2):tx+(t-2)y-3t+3=0$
Gọi $N(x,y)$ là điểm cố định mà $(T_1,T_2)$ luôn đi qua với mọi t, khi đó:
$tx+(t-2)y-3t+3=0, \forall t\Leftrightarrow (x+y-3)t-2y+3=0, \forall t$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y-3=0 \\ -2y+3=0 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}$.
Vậy $(T_1T_2)$ luôn đi qua điểm cố định $N(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$
|