|
|
Điều kiện $\,\,\,\,\,x > 0$
$(1)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\log _6}\left( {\sqrt x + \sqrt[4]{x}} \right) = {\log
_2}\sqrt[4]{x}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\log _6}\left( {{t^2} + t} \right) = {\log _2}t$
Với $t = \sqrt[4]{x} > 0$ ta có ${\log _2}t = {\log _2}6.{\log _6}t$
Từ đó : ${\log _6}t + {\log _6}\left( {t + 1} \right) = {\log _2}6.{\log _6}t$
$ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_6}\left( {t + 1} \right)}}{{{{\log }_6}t}} = {\log _2}3$ ($t
\ne 1$ vì $t = 1$ phương trình không thỏa mãn)
Nếu $0 < t < 1:$ vế trái âm, vế phải dương phương trình không thỏa mãn.
Nếu $t > 0:$ xét $f(t) = {\log _t}\left( {t + 1} \right) - {\log _2}3$
$f'(t) = \frac{{t\ln t - \left( {t + 1} \right)\ln \left( {t + 1} \right)}}{{t\left( {t + 1} \right){{\ln
}^2}t}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t > 1$ do $t\ln t$ là hàm số tăng.
Suy ra $f( + )$là hàm số giảm trong $\left( {1,\, + \infty } \right)$
Ta có $f(2) = 0$ nên $t = 2$ là $1$ nghiệm duy nhất của $f(t)$
Suy ra $\sqrt[4]{x} = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = 16$
Thế $x = 16$vào (2) ta có:
$\frac{{\sin \,\pi + 1}}{{cos\,\pi }} < 1 - cos\,\pi \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, - 1 < 2$
bất phương trình thỏa mãn khi $x = 16$.
Vậy : hệ có $1$ nghiệm duy nhất $x = 16$.
|