|
|
$\begin{array}{l}
{F^ / }(x) = {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^ / }{e^{ - x}} + \left( {a{x^2} + bx + c}
\right){\left( {{e^{ - x}}} \right)^ / }\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\left[ { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x + b - c} \right]{e^{ - x}}\\
{F^ / }(x) = x\left( {1 - x} \right){e^{ - x}}
\end{array}$
$x\left( {1 - x} \right){e^{ - x}}$ là một nguyên hàm của $F(x)$ nếu và chỉ nếu:
$ - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x + b - c = - {x^2} + x$
$ \Leftrightarrow \,\,a = 1\,\,;\,\,2a - b = 1\,,\,\,b - c = 0\,\, \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1\\
c = 1
\end{array} \right.$
Tính I:
Ta có: $\left( {{x^2} + x + 1} \right){e^{ - x}}$ là 1 nguyên hàm của $x\left( {1 - x}
\right){e^{ - x}}$ nên ta có:
$\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^1 {x\left( {1 - x} \right){e^{ - x}}dx = \left. {\left( {{x^2} + x + 1} \right){e^{ -
x}}} \right]_0^1} \\
\,\,\, = \,\,\,3{e^{ - 1}} - 1 = \frac{3}{e} - 1
\end{array}$
|