Bài 103711

Question

Biết rằng dãy số thực dương $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ là một cấp số cộng. Chứng minh hệ thức:
$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n}}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}$ (1)

score 0 · Answer 1

Ta có: $$ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}= \frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}}{(\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}})(\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}})}=\frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}}{a_{2}-a_{1}}=\frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}}{d},$$
trong đó $d$ là công sai của cấp số.
Tương tự, ta có:$$\frac{1}{\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}}=\frac{\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}}{d},...,\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}}=\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n-1}}}{d}$$
Vế trái của (1) trở thành:$$\frac{(\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}})+(\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}})+...+(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n-1}})}{d}=\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{d}$$
$$=\frac{a_{n}-a_{1}}{d(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{1}})}=\frac{(a_{1}+(n-1)d)-a_{1}}{d(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{1}})}=\frac{n-1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{1}}}(ĐPCM).$$

Bài 103711

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103711

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan