Bài 103814

Question

Giả sử

$A$ và

$B$ là

$2$ số nguyên dương.
Chứng minh rằng

$\sqrt {A + 2\sqrt B }$ biểu diễn được dưới dạng đơn giản:

$\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt C + \sqrt D$
Với

$C, D$ là những số nguyên dương nào đó, điều kiện cần và đủ là số nguyên

$A^2 – 4B$ phải là

$1$ số chính phương (nghĩa là bình phương của

$1$ số nguyên).

score 0 · Answer 1

Ta có:
Điều kiện cần:
Cho

$\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt C + \sqrt D$ bình phương

$2$ vế :

$\Rightarrow A = C + D, B = CD \Rightarrow$ kết quả :

${A^2} - 4B = {n^2}$
Điều kiện đủ : Cho

${A^2} - 4B = {n^2}$

$\Rightarrow B = \frac{{{A^2} - {n^2}}}{4} = \frac{{A + n}}{4}.\frac{{A - n}}{2}$

$\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt {A + 2\frac{{{A^2} - {n^2}}}{4}}$

$= \sqrt {\frac{{A + n}}{2} + 2\sqrt {\left( {\frac{{A + n}}{2}} \right)\left( {\frac{{A - n}}{2}} \right)} } + \frac{{A - n}}{2}$

$= \sqrt C + \sqrt D$ với

$C = \frac{{A + n}}{2}$ ,

$D = \frac{{A - n}}{2}$

1 Đáp án