Bài 103814

Question

Giả sử $A$ và $B$ là $2$ số nguyên dương.
Chứng minh rằng $\sqrt {A + 2\sqrt B } $ biểu diễn được dưới dạng đơn giản:
$\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt C + \sqrt D $
Với $C, D$ là những số nguyên dương nào đó, điều kiện cần và đủ là số nguyên $A^2 – 4B$ phải là $1$ số chính phương (nghĩa là bình phương của $1$ số nguyên).

score 0 · Answer 1

Ta có:
Điều kiện cần:
Cho $\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt C + \sqrt D $ bình phương $2$ vế :
$\Rightarrow A = C + D, B = CD \Rightarrow $ kết quả : ${A^2} - 4B = {n^2}$
Điều kiện đủ : Cho ${A^2} - 4B = {n^2}$
    $ \Rightarrow B = \frac{{{A^2} - {n^2}}}{4} = \frac{{A + n}}{4}.\frac{{A - n}}{2}$
    $\sqrt {A + 2\sqrt B } = \sqrt {A + 2\frac{{{A^2} - {n^2}}}{4}} $
    $ = \sqrt {\frac{{A + n}}{2} + 2\sqrt {\left( {\frac{{A + n}}{2}}
\right)\left( {\frac{{A - n}}{2}} \right)} } + \frac{{A - n}}{2}$
$ = \sqrt C + \sqrt D $ với $C = \frac{{A + n}}{2}$, $D = \frac{{A - n}}{2}$

Bài 103814

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103814

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan