Bài 103997

Question

Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết là các biểu thức đã cho có nghĩa) :
$a) \log _{ax}(bx) = \frac{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}}$
$b) \frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^k}}}x}} = \frac{{k(k + 1)}}{{2{{\log }_a}x}}$

score 0 · Answer 1

$a)$ Ta có : $VP = \frac{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}} = \frac{{{{\log
}_a}(b{\rm{x}})}}{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}x}}$
        = $\frac{{{{\log }_a}(b{\rm{x}})}}{{{{\log }_a}({\rm{ax}})}} = {\log
_{{\rm{ax}}}}\left( {b{\rm{x}}} \right) = VT$
$b$) Ta có : $1 + 2 + 3 + … + n =$ $\frac{{n(1 + n)}}{2}$
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}},{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x$
VT = $\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log
}_{{a^k}}}x}}$
    $=   {{ {\log }_x}a}  + {{ {\log }_x}a^2}  + … + {{ {\log }_x}a^k} $
    $= {{ {\log }_x}a}  + 2 {{ {\log }_x}a}  + … + k {{ {\log }_x}a} $
    $= {{ {\log }_x}a} (1 + 2 + 3 + … + k) =$ $\left( {\frac{{1 + k}}{2}} \right)k{\log _x}a = \frac{{k(k
+ 1)}}{{2{{\log }_a}x}} = VP$

Bài 103997

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103997

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan