Bài 104351

Question

$1.$ Giải bất phương trình:
$\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x$
$2$. Tìm tất cả các giá trị $a$ để hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2xy - 3{y^2} = 8\\2{x^2} + 4xy + 5{y^2} = {a^4} - 4{a^3} + 4{a^2} - 12 + \sqrt {105}
\end{array} \right.$ có nghiệm.

score 0 · Answer 1

$1.$ BPT $\Leftrightarrow (\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6})+(7x+7+7x-6+2\sqrt{49x^2+7x-42})<182$
$\Leftrightarrow (\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+14)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}-13)<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}<13$
$\Leftrightarrow f(x)<f(6)$ với $f(x=\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}$
$\Leftrightarrow \frac{6}{7}\leq x<6$ (do $f(x)$ đồng bến trên miền xác định)
$2.$ Từ phương trình đầu suy ra $x\neq 0$, dođó có thể đặt $t=\frac{y}{x}$. Thế vào hệ đã cho, ta được :
$\begin{cases}x^2(3t^2+2t-1)=-8 \\ x^2(5t^2+4t+2)=A \end{cases}$ với $A=a^4-4a^3+4a^2-12+\sqrt{105}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=\frac{8}{3t^2+2t-1} \\ \frac{-8(5t^2+4t+2)}{3t^2+2t-1}=A \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\pm \sqrt{\frac{-8}{3t^2+2t-1}} \\ -1<t<\frac{1}{3} \\\frac{5t^2+4t+2}{3t^2+2t-1}=\frac{-A}{8}\end{cases}$
Hệ đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{-A}{8}$ thuộc tập giá trị của hàm số
$\begin{cases}f(t)=\frac{5t^2+4t+2}{3t^2+2t-1} \\ -1<t<\frac{1}{3} \end{cases}$
Ta có $f(t)=\frac{-2(t^2+11t+4)}{(3t^2+2t-1)^2}$
$f(t)$ có hai nghiệm phân biệt $t_{1,2} =\frac{11\pm \sqrt{105}}{2}(t_1<-1<t_2<\frac{1}{3})$
Bảng biến thiên

với $f(t_2)=\frac{3-\sqrt{105}}{8}$
Hàm số có tập giá trị là $-\infty <f(t)\leq \frac{3-\sqrt{105}}{8}$. Hệ phương trình đã cho sẽ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\frac{-A}{8}\leq \frac{3-\sqrt{105}}{8}\Leftrightarrow A\geq -3>\sqrt{105}\Leftrightarrow (a^2-2a)^2\geq 9$
$ \Leftrightarrow $ $a\leq -1; a\geq 3$

Bài 104351

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104351

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đẳng cấp

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan