$A,B,C \in (C):y = \frac{1}{x} \Rightarrow A\left( {a;\frac{1}{a}} \right)\,\,;\,\,B\left(
{b;\frac{1}{b}} \right)\,\,;\,C\left( {c;\frac{1}{c}} \right)$
$abc \ne 0;a \ne b;b \ne c;c \ne a$
$\Rightarrow\overrightarrow{BC}(c-b;\frac{1}{c}-\frac{1}{b})$
Phương trình đường cao $AA’$ qua $A\left( {a;\frac{1}{a}} \right)\,\, \bot \overrightarrow {BC} $ là:
$\begin{array}{l}
(c - b)(x - a) + \frac{{b - c}}{{bc}}\left( {y - \frac{1}{a}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x - \frac{1}{{bc}}y - a + \frac{1}{{abc}} = 0
\end{array}$
Tương tự pt $BB’$ : $x - \frac{1}{{ca}}y - b + \frac{1}{{abc}} = 0$
Vậy tọa độ trực tâm $H$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{{bc}}y - a + \frac{1}{{abc}} = 0\,\,\,(1)\\
x - \frac{1}{{ca}}y - b + \frac{1}{{abc}} = 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
Trừ ($1$) và ($2$) vế theo vế ta được: $ y = -abc$
Thay vào ($1$) ta có: $x + a – a +\frac{1}{{abc}}= 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{{abc}}$
Vậy $H\left( { - \frac{1}{{abc}}; - abc} \right) \Rightarrow H \in (C) $ đpcm