Xét: $f(t)=\frac{\tan t}{t},t\in (0,\frac{\pi}{2})$
$f'(t)=\frac{\frac{t}{cos^2t}-tan t}{t^2}=\frac{t-\sin t.\cos t}{t^{2}.\cos^{2}t}$
(vì: $0<sin t, cos t<1\Rightarrow$$\sin t.\cos t<\sin t< t$)
$\Rightarrow f$ là hàm tăng trên $(0,\frac{\pi}{2})$
Vì vậy: $f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$
Thay vào phương trình:
$ \sin x+\sin y=\sqrt{2}\Leftrightarrow sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow x=y=\frac{\pi}{4}$ ( vì $ x, y\in(0;\frac{\pi}{2})$)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $x=y=\frac{\pi}{4}$
(Chứng minh : $sin t<t, \forall t\in(0;\frac{\pi}{2}$:
Xét $f(t)=sin t-t\Rightarrow f'(t)=cos t-1<0 $
$\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên $(0;\frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow f(t)<f(0)=0\Rightarrow sint <t$)
*Chú ý:
$|\sin x| \leq |x|,\forall x \in R,$ Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=0$
$\sin x<x<\tan x,\forall x \in (0,\frac{\pi}{2})$