Bài 104803

Question

Giải hệ:

$\begin{cases}\frac{\tan x}{x}=\frac{\tan y}{y} \\ \sin x+\sin y=\sqrt{2} \\ 0<x,y<\frac{\pi}{2} \end{cases}$

score 0 · Answer 1

Xét:

$f(t)=\frac{\tan t}{t},t\in (0,\frac{\pi}{2})$

$f'(t)=\frac{\frac{t}{cos^2t}-tan t}{t^2}=\frac{t-\sin t.\cos t}{t^{2}.\cos^{2}t}$

(vì:

$0<sin t, cos t<1\Rightarrow$

$\sin t.\cos t<\sin t< t$ )

$\Rightarrow f$ là hàm tăng trên

$(0,\frac{\pi}{2})$

Vì vậy:

$f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình:

$\sin x+\sin y=\sqrt{2}\Leftrightarrow sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{\pi}{4}$ ( vì

$x, y\in(0;\frac{\pi}{2})$ )

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

$x=y=\frac{\pi}{4}$
(Chứng minh :

$sin t<t, \forall t\in(0;\frac{\pi}{2}$ :
Xét

$f(t)=sin t-t\Rightarrow f'(t)=cos t-1<0$

$\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên

$(0;\frac{\pi}{2})$

$\Rightarrow f(t)<f(0)=0\Rightarrow sint <t$ )

*Chú ý:

$|\sin x| \leq |x|,\forall x \in R,$ Dấu "=" xảy ra

$\Leftrightarrow x=0$

$\sin x<x<\tan x,\forall x \in (0,\frac{\pi}{2})$

1 Đáp án