Bài 104848

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

$2$ . Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

$3$ . Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Xét điểm

$M(x_0;y_0=\frac{x_0+1}{x_0-1})$ thuộc đồ thị.Tiếp tuyến tại

$M$ có phương trình

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x)=\frac{-2}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+1}{x_0-1}$
Gọi

$A,B$ theo thứ tự là các giao diểm của tiếp tuyến trên với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang;

$E$ là giao điểm

$2$ tiệm cận.

$E$ có tọa độ

$1,1$

$A$ có tọa độ:

$x_A=1,y_A=\frac{x_0+3}{x_0-1}$

$B$ có tọa độ :

$y_B=1, x_B=2x_0-1$
Do đó

$EA=|y_A-y_E|=|\frac{x_0+3}{x_0-1}-1|=\frac{4}{|x_0-1|}$

$EB=|x_B-x_E|=|2x_0-1-1|=2|x_0-1|$
dt

$\Delta ABC=\frac{1}{2.EA.EB=4}$ (đơn vị diện tích)

$\Rightarrow$ các tiếp tuyến của đồ thị tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

$3. AB^2=EA^2+EB^2\geq 2EA.EB=2.\frac{4}{|x_0-1|}.2|x_0-1|=16\Rightarrow AB\geq 4$

$EA+EB\geq 2\sqrt{EA.EB}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}+4$

$\Delta EAB$ có chu vi bé nhát

$EA=EB\Leftrightarrow 2|x_0-1|=\frac{4}{|x_0-1|}$

$\Leftrightarrow (x_0-1)^2=2\Leftrightarrow x_0-1=\pm \sqrt{2}\Leftrightarrow x_0=1\pm \sqrt{2}$
Vậy trên đồ thị có

$2$ điểm mà tiếp tuyến tại đó lâp với

$2$ đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất, đó là

$2$ điểm với hoành độ

$x_0=1\pm \sqrt{2}$

1 Đáp án