Bài 104861

Question

Cho hệ bất phương trình:
$\begin{cases} x^{2}+7x-8 <0 \\ a^{2}x+1>3+ \left( 3a-2 \right) x \end{cases} $
Định a để hệ bất phương trình vô nghiệm.

score 0 · Answer 1

$\begin{cases} x^{2}+7x-8 <0 (1) \\ a^{2}x+1>3+ \left( 3a-2 \right) x (2) \end{cases} $
$(1)$ Có nghiệm $-8 <x<1$
$(2) \Leftrightarrow \left( a^{2}-3a+2 \right) x>2$
Nếu $\left[ \begin{array}{l} a<1 \\ a>2 \end{array} \right. $ thì nghiệm của $(2)$ là $x>\frac{2}{a^{2}-3a+2}$
Nếu $1<a<2$ thì nghiệm của $(2)$ là $x<\frac{2}{a^{2}-3a+2}$
Nếu $a=1$ hoặc $a=2: (2)$ vô nghiệm, hệ vô nghiệm.
+/ hệ bất phương trình vô nghiệm khi:
$\frac{2}{a^{2}-3a+2}\geq 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a^{2}-3a+2}-1\geq 0 \Leftrightarrow \frac{-a^{2}+3a}{a^{2}-3a+2}\geq 0$
Bảng xét dấu vế trái

Để bất phương trình vô nghiệm thì $0\leq a \leq 1$ hay $2<a \leq 3$
+/ hệ bất phương trình vô nghiệm khi:
$\frac{2}{a^{2}-3a+2}\leq -8 \Leftrightarrow \frac{2}{a^{2}-3a+2}+8 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{8a^{2}-24a+18}{a^{2}-3a+2}\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{2 \left( 4a^{2}-12a+9 \right) }{a^{2}-3a+2} \Leftrightarrow \frac{ \left( 2a-3 \right) ^{2}}{a^{2}-3a+2}\leq 0 \Leftrightarrow 1<a<2$
Hợp nghiệm $0 \leq a \leq 3$

Bài 104861

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104861

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan