Bài 104941

Question

Chứng minh rằng nếu hàm số

$f(x)$ xác định và liên tục trên

$[a;b]$ thì với các điểm

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ bất kì thuộc

$[a;b]$ đều có một số

$c\in [a;b]$ sao cho

$f(c)=\frac{1}{n}[f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})]$ .

score 0 · Answer 1

Nếu

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ thuộc

$[a;b]$ ta có

$f(x_{1})=f(x_{2})=...=f(x_{n})$ thì rõ ràng lấy

$c=x_{1}\in [a;b]$

$f(c)=f(x_{1})=\frac{1}{n}[f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})]$ .
Nếu có ít nhất cặp giá trị

$x_{p}, x_{q}$ với

$1\leq p, q\leq n: f(x_{p})\neq f(x_{q})$
Khi đó tồn tại

$m=\min\left\{ \begin{array}{l} f(x_{1}),f(x_{2}),...,f(x_{n})\end{array} \right.\left.\right \}$ ,

$M=\max\left\{ \begin{array}{l} f(x_{1}),f(x_{2}),...,f(x_{n})\end{array} \right.\left.\right \}$ và

$m=\frac{1}{n}{\rm{[}}\underbrace {m + m + ... + m{\rm{]}}}_{n{\rm{ }}}<f(c)=\frac{1}{n}[ f(x_{1}),f(x_{2}),...,f(x_{n}]$
<

$\frac{1}{n}{\rm{[}}\underbrace {M + M + ... + M{\rm{]}}}_{n{\rm{ }}}=M$ .
Do đó

$c\in (a;b)$ .

1 Đáp án