Bài 105078

Question

Giải các bất phương trình sau:
a/ $\sqrt{ x+3} \geq \sqrt{ 2x-8} + \sqrt{ 7-x}$
b/ $\sqrt{ x-2} - \sqrt{ 3-x} < \sqrt{ 5-2x}$
c/ $ \sqrt{ 1+x} - \sqrt{1-x} \leq x $
d/ $\sqrt{ 2 x^{2} -6x+ 1}-x+2 >0$

score 0 · Answer 1

a/ $\sqrt{ x+3} \geq \sqrt{ 2x-8} + \sqrt{ 7-x}$
Điều kiện: $\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ 2x-8 \geq 0 \\ 7-x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq 4 \\ x \leq 7 \end{cases} \Leftrightarrow 4 \leq x \leq 7 $
Với điều kiện trên, bình phương hai vế:
$x+3 \geq 2x-8+7-x +2 \sqrt{ \left( 2x-8 \right) \left( 7-x \right) }$
$\Leftrightarrow 4 \geq 2 \sqrt{ \left( 2x-8 \right) \left( 7-x \right) }$
$\Leftrightarrow 2 \geq\sqrt{ \left( 2x-8 \right) \left( 7-x \right) }$
$\Leftrightarrow 2 x^{2} -22x+60 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} -11x+30 \geq 0$
$\Leftrightarrow x\leq 5, x \geq 6$
Nghiệm của bất phương trình là: $4 \leq x \leq 5$ hay $6 \leq x \leq 7$

b/ $\sqrt{ x-2} - \sqrt{ 3-x} < \sqrt{ 5-2x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ x-2} < \sqrt{ 3-x}+ \sqrt{ 5-2x}$
Điều kiện: $\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq \frac{ 5}{2} \\ x<3 \end{cases} \Leftrightarrow 2 \leq x \leq \frac{ 5}{2}$
Với điều kiện trên, bất phương trình $\Leftrightarrow x-2<5-2x+3-x+2 \sqrt{ 2 x^{2} -11x +15}$
$\Leftrightarrow 4x-10 < 2 \sqrt{ 2 x^{2} -11x +15} $
$\Leftrightarrow 2x-5<\sqrt{ 2 x^{2} -11x +15} $
$\Rightarrow $ Nghiệm cảu bất phương trình là: $2 \leq x \leq \frac{ 5}{2}$

c/ $ \sqrt{ 1+x} - \sqrt{1-x} \leq x $
Điều kiện; $-1 \leq x \leq 1$
$\left( \sqrt{ 1+x} - \sqrt{1-x} \right)\left( \sqrt{ 1+x} +\sqrt{1-x} \right) \leq x \left( \sqrt{ 1+x} + \sqrt{1-x} \right)$
$\Leftrightarrow 1+x-1+x <x \left( \sqrt{ 1+x} + \sqrt{1-x} \right)$
$\Leftrightarrow 2x< x \left( \sqrt{ 1+x} + \sqrt{1-x} \right)(*)$
Nếu $0 <x \leq 1$
$(*) \Leftrightarrow 2 < \left( \sqrt{ 1+x} + \sqrt{1-x} \right)$
$\Leftrightarrow 4 < 1+x+1-x+2 \sqrt{ 1-x^{2} }$
$\Leftrightarrow 1< \sqrt{ 1- x^{2} } \Leftrightarrow 1 < 1- x^{2} $: vô nghiệm.
Nếu$ -1 \leq x <0$
$(*) \Leftrightarrow 2 > \left( \sqrt{ 1+x} + \sqrt{1-x} \right) $
$\Leftrightarrow 4 > 1+x+1-x+2 \sqrt{ 1-x^{2} }$
$\Leftrightarrow 1> \sqrt{ 1- x^{2} } \Leftrightarrow 1 > 1- x^{2} \Leftrightarrow x^{2} >0$: luôn đúng.
$\Rightarrow $Nghiệm của bất phương trình là $ -1 \leq x <0$.

d/ $\sqrt{ 2 x^{2} -6x+ 1}-x+2 >0$
$\sqrt{ 2 x^{2} -6x+ 1}>x-2$
Điều kiện $2 x^{2} -6x+ 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{ 3 - \sqrt{ 7}}{2}, x \geq \frac{ 3+ \sqrt{ 7}}{2}$
Với điều kiện:$(*) $ đúng với mọi $x \leq \frac{ 3 - \sqrt{ 7}}{2}$
Nếu $x>2:$
$(*)\Leftrightarrow 2 x^{2} -6x+ 1> x^{2} -4x+4$
$\Leftrightarrow x^{2} -2x -3 >0 \Leftrightarrow x<-1 , x> 3$
Vậy nghiệm của bất phương trình : $x \leq \frac{ 3 - \sqrt{ 7}}{2}, x>3$

Bài 105078

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105078

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan