Bài 105108

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{x^2+ 2x + 2}{x + 1}\,\,\,\,(C)$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (

$C)$
Dùng đồ thị giải thích tại sao phương trình

$\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} = m(x + 1)$ với
tham số

$m > 1$ có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng là một số không đổi.

$2$ . Chứng minh có hai tiếp tuyến của

$(C)$ đi qua điểm

$A(1;0$ ) và vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị. Với

$m>1$ thì đường thẳng

$y=m(x+1)$ luôn đi qua tâm đối xứng của đồ thị và nằm trong góc nhọn giữa

$2$ tiệm cận, do đó luôn cắt đồ thị tại

$2$ điểm

$A_1(x_1,y_1)$ và

$A_2(x_2,y_2)$ đối xứng với nhau qua

$I(-1,0)$ (giao hai tiệm cận và là tâm đối xứng của đồ thị)

$\Rightarrow \forall m>1$ phương trình đã cho luôn có

$2$ nghiệm phân biệt

$x_1,x_2$ thỏa mãn

$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$ hay

$x_1+x_2=-2$ không đổi

$2.$ đường thẳng đi qua

$a(1,0)$ , hệ số góc

$k$ có phương trình

$y=k(x-1)$ .Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến của đồ thị hà số

$y=\frac{x^2+2x+2}{x+1} =x+1+\frac{1}{x+1}$ khi hệ phương trình có nghiệm:

$(H) \begin{cases}x+1+\frac{1}{x+1} =k(x-1) (1)\\ 1-\frac{1}{(x+1)^2}=k (2)\end{cases}$
Ta có

$(2)\Leftrightarrow x+1-\frac{1}{x+1}=k(x+1)(2')$

$(1)$ và

$(2')\Rightarrow \frac{2}{x+1}=-2k\Rightarrow \frac{1}{x+1} =-k$
do đó

$(H)\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{x+1}=-k (3) \\ 1-\frac{1}{(x+1)^2} (2) \end{cases}$

$(H)$ sẽ có nghiệm

$\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thỏa mãn

$(2)\Leftrightarrow \begin{cases}-k\neq 0 \\ 1-(-k)^2=k \end{cases}$

$\Leftrightarrow k_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2}$
Vậy qua

$A(1;0)$ kẻ được tới đồ thị hai tiếp tuyến

$y=k_1(x-1),y=k_2(x-1)$ .Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau vì

$k_1.k_2=-1$

1 Đáp án