Bài 105216

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và họ mặt phẳng

$(Q_{a, b})$ có phương trình :

$(P): x+y+z-3=0$

$(Q_{ a, b}): a(a+y-2z-5)+b(x-2y+z+4)=0$
1. Chứng tỏ rằng với mọi a, b luôn có (P) và

$(Q_{a, b})$ vuông góc với nhau
2. Xác định mặt phẳng thuộc họ

$(Q_{a, b})$ sao cho khoảng cách từ nó tới điểm M(1; 1; 1) bằng

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

score 0 · Answer 1

Mặt phẳng (P) có vtpt

$\overrightarrow n(1; 1; 1)$
1. Nhận xét rằng họ

$(Q_{a, b})$ thuộc chùm tạo bởi đường thẳng (d) có phương trình:

$(d): \begin{cases}x+y-2z-5=0 \\ x-2y+z+4=0 \end{cases}$
và (d) có vtcp

$\overrightarrow a (1; 1; 1)$
Suy ra

$\overrightarrow a //\overrightarrow n \Leftrightarrow (P) \bot (d) \subset (Q_{a, b}) \Leftrightarrow (P)\bot (Q_{a, b})$

2. Từ giả thiết ta được:

$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{|(a+b).1+(a-2b).1-(2a-b).1-5a+4b|}{\sqrt{(a+b)^2+(a-2b)^2+(2a-b)^2}}$

$\Leftrightarrow 8a^2-13ab+5b^2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=b\\a=\frac{5b}{8}\end{array} \right.$

Ta lần lượt:
+) Với

$a=b$ ta được :

$(Q_1): 2x-y-z-1=0$
+) Với

$a=\frac{5b}{8}$ ta được:

$(Q_2): 13x-11y-2z+7=0$

1 Đáp án