Bài 105312

Question

Giải các bất phương trình
a/ $5 x^{2} . 4^{8 x^{2} +3x}+8x+ 2^{16 x^{2} +6x } > 10 x^{2} +2 +x. 4^{8 x^{2} +3x+1}$
b/ $3^{2x}-8. 3^{x+ \sqrt{ x+4}} – 9^{ \sqrt{ x+4}+1}>0$
c/ $4^{x} \leq 3.2^{x+ \sqrt{ x}} +4^{1+ \sqrt{ x}}$
d/ $4 x^{2} + 3^{ \sqrt{ x}+1}+x.3^{ \sqrt{ x}}< 2 x^{2} . 3^{ \sqrt{ x}} +2x+6$

score 0 · Answer 1

a/ $5 x^{2} . 4^{8 x^{2} +3x}+8x+ 2^{16 x^{2} +6x } > 10 x^{2} +2 +x. 4^{8 x^{2} +3x+1}$
$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x} \left( 5 x^{2} -4x+1 \right) – 2 \left( 5 x^{2} -4x+1   \right) >0$
$\Leftrightarrow \left(   5 x^{2} -4x+1    \right) \left( 4^{8 x^{2} +3x}-2   \right)>0 $
$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}-2   >0$ do $5 x^{2} -4x+1    >0 \forall x, \Delta=1>0$
$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}>2   \Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}> 4^{\frac{ 1}{2}}   $
$\Leftrightarrow 8 x^{2} +3x> \frac{ 1}{2}$ (do 4>0)
$\Leftrightarrow 16 x^{2} +6x -1 >0 \Leftrightarrow x < - \frac{ 1}{2}$ hay $x> \frac{ 1}{8}$
Vậy bất phương trình có nghiệm $x\in \left ( -\infty;-\frac{1}{2} \right )\cup \left ( \frac{1}{8} ;+\infty \right )$

b/ $3^{2x}-8. 3^{x+ \sqrt{ x+4}} – 9^{ \sqrt{ x+4}+1}>0$ điều kiện: $x \geq -4$
$\Leftrightarrow 3^{2x}-8. 3^{ \sqrt{ x+4}}.3^{x}-9.9^{\sqrt{ x+4}}>0$
Đặt $3^{x}=t, t>0: t^{2}-8.3^{ \sqrt{ x+4}}.t -9. 9^{ \sqrt{ x+4}}>0$
Vế trái là tam thức của t có $\Delta ‘= \left(4.3^{ \sqrt{ x+4}}   \right)^{2} +9. 9^{ \sqrt{ x+4}}= 16. 9^{ \sqrt{ x+4}}+9. 9^{ \sqrt{ x+4}}= 25.9^{ \sqrt{ x+4}} $
$\Rightarrow \sqrt{ \Delta ‘}=5. 3^{ \sqrt{ x+4}}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t=4.3^{ \sqrt{ x+4}}-5. 3^{ \sqrt{ x+4}}=-2. 3^{ \sqrt{ x+4}}<0 (L) \\ t=4. 3^{ \sqrt{ x+4}}+5. 3^{ \sqrt{ x+4}}=9. 3^{ \sqrt{ x+4}}=3^{2+ \sqrt{ x+4}}   \end{array} \right. $
$\Rightarrow 3^{x} >3^{ 2+\sqrt{ x+4}} \Leftrightarrow x>2+ \sqrt{ x+4} \Leftrightarrow x-2 > \sqrt{ x+4} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 2    \\ x^{2} -4x+4 > x+4    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ x^{2} -5x >0   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2   \\   x<0, x>5 \end{cases} \Leftrightarrow x>5 $
Vậy bất phương trình có nghiệm x>5.

c/ $4^{x} \leq 3.2^{x+ \sqrt{ x}} +4^{1+ \sqrt{ x}}$
Điều kiện: $x \geq 0$
Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{ 2^{2x}}{2^{x+ \sqrt{ x}}} \leq 3+ \frac{ 2^{2+2 \sqrt{ x}}}{2^{x+ \sqrt{ x}}} \Leftrightarrow 2^{x+ \sqrt{ x}} \leq 3+2^{2}. 2^{ \sqrt{ x}-x}$
Đặt $2^{x- \sqrt{ x} }=t, t>0 \Rightarrow 2^{ \sqrt{ x}-x}= \frac{ 1}{2^{ x-\sqrt{ x}}}$
$t \leq 3+ \frac{ 4}{t} \Leftrightarrow t^{2}-3t-4 \leq 0$
$\Leftrightarrow -1 \leq t \leq 4 \Leftrightarrow 0 <t \leq 4$
$\Leftrightarrow 2^{ x-\sqrt{ x}} \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq \sqrt{ x} \leq 2$
$\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{ x} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4$
Vậy bất phương trình có nghiệm $0\leq x\leq 4.$

d/ $4 x^{2} + 3^{ \sqrt{ x}+1}+x.3^{ \sqrt{ x}}< 2 x^{2} . 3^{ \sqrt{ x}} +2x+6$
Điều kiện: $x \geq 0$
Bất phương trình $\Leftrightarrow 4 x^{2} – 2x -6 <3^{ \sqrt{ x}} \left( 2 x^{2} –x -3   \right) $
$\Leftrightarrow \left( 2 x^{2} –x -3   \right) \left(3^{ \sqrt{ x}}-2    \right) >0$
$\Rightarrow $ nghiệm của phương trình: $0 \leq x < \log_{3^{2} }{2} $ hay $x> \frac{ 3}{2}$

Bài 105312

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105312

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan