|
|
$1.$ Xin dành cho bạn đọc.
$2.$ Đồ thị qua $A(x,y),\forall k\neq 2$
$\Leftrightarrow \frac{2x^2+kx+2-k}{x+k-1} =y,\forall k\neq 2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2+kx+2-k=y(x+k-1) \\ x+k-1\neq 0 \end{cases} \forall k\neq 2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1-y)k+(2x^2+2-yx+y)=0 \\ k\neq 1-x \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-1-y=0 \\ 2x^2+2-yx+y=0 \\1-x=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=-2 \\ x=-1 \end{cases} $
Vậy $\forall k\neq 2$, đồ thị luôn qua $A(-1,-2)$
Ta có : $y^/=\frac{2x^2+4(k-1)x+k^2-2}{(x+k-1)^2} $
Tiếp tuyến tại $A(-1,-2)$ có hệ số góc
$y^/(-1)=\frac{2-4(k-1)+k^2-2}{(-1+k-1)^2}=\frac{(k-2)^2}{(k-2)^2} $=1
Và có phương trình $y=1.(x+1)-2=x-1$
Vậy $\forall k\neq 2$, đồ thị luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định $y=x-1$ tại điểm cố định $A(-1,-2)$
$3.$ Hàm số đồng biến trong khoảng $(a;+\infty )\Leftrightarrow y^/\geq 0,\forall x\in(1,+\infty )$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2+4(k-1)x+k^2-2\geq 0,\forall \in (1,+\infty ) \\ x+k-1\neq ,\forall x\in (1,+\infty ) \end{cases} $
$\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}\Delta '=2(k-2)^2\\\begin{cases}\Delta '=2(k-2)^2>0 \\ x_1<x_2\leq 1 \end{cases} \end{array} \right. \\ 1-k\neq x,\forall x\in(1,+\infty ) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l}k = 2\\\begin{cases}k\neq 2 \\ k^2+4k-4\geq 0 \\-(k-1)\leq 1\end{cases} \end{array} \right. \\ 1-k\leq 1 \end{cases} $
$\Leftrightarrow k\geq 2(\sqrt{2} -1)$
|