Bài 105390

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P); (Q); (R) có phương trình:

$(P): x+y+z-6=0 ; (Q): ax-2y+bz+a-b=0$

$(R): ax+(a-b)y-bz+2a=0$
Xác định a, b để ba mặt phẳng (P); (Q); (R) đôi một vuông góc với nhau, từ đó xác định một điểm chung của ba mặt phẳng đó

score 0 · Answer 1

Gọi

$\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q}; \overrightarrow{n_R}$ là vtpt của các mặt phẳng (P); (Q); (R) được:

$\overrightarrow{n_P}(1; 1; 1); \overrightarrow{n_Q}(a; -2; b); \overrightarrow{n_R}(a; a-b; -b)$
Để ba mặt phẳng (P); (Q); (R) đôi một vuông góc với nhau, điều kiện là:

$\begin{cases} \overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}=0 \\ \overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_R}=0 \\ \overrightarrow{n_R}.\overrightarrow{n_Q}=0 \end{cases}$

$\begin{cases}a-2+b=0 \\ a+a-b-b=0\\a^2-2(a-b)-b^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a-2+b=0 \\ a=b\\ a^2-2(a-b)-b^2 =0 \end{cases} \Leftrightarrow a=b=1$
Khi đó tọa độ điểm chung

$I$ là nghiệm của hệ phương trình :