Bài 105523

Question

Xem đồ thị hàm số: $y = \frac{{(m - 2)x - ({m^2} - 2m + 4)}}{{x - m}}$
Trong đó $m$ là tham số.
1) Tìm quỹ tích tâm đối ứng của đồ thị.
2) Chứng tỏ rằng đồ thị luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng mà đồ thị không thể đi qua, dù $m$ lấy bất cứ giá trị nào

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:34:01 PM

Viết lại hàm số dưới dạng: $y = m - 2 - \frac{4}{{x - m}}$

$1)$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = m$, tiệm cận ngang $y = m - 2$.
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận, do đó tạo độ tâm là $x = m,{\rm{ }}y = m - 2$
$\Rightarrow $quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị là đường thẳng $y = x - 2$.

$2)$ Đường thẳng $y = {{ax + b}}$ tiếp xúc với đồ thị hàm số với mọi $m$ khi và chỉ khi phương trình:
    $m - 2 - \frac{4}{{x - m}} = {\rm{ax}} + b = \left[ {a(x - m) + am + b} \right]$
Có nghiệm kép với m
    $ \Leftrightarrow a{(x + m)^2} + \left[ {(a - 1)m + b + 2} \right](x - m) + 4 = 0$
Có nghiệm kép với mọi m
    $ \Leftrightarrow a{t^2} + \left[ {(a - 1)m + b + 2} \right]t + 4 = 0$
Có nghiệm kép với mọi m trong đó đặt $t = x - m$
    $ \Leftrightarrow \Delta = {\left[ {(a - 1)m + b + 2} \right]^2} - 16a = 0$
Với mọi $m$ $ \Leftrightarrow a = 1,{\rm{ (}}b + 2{)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1,{\rm{ }}b = 2\\
a = 1,{\rm{ }}b = - 6
\end{array} \right.$
Vậy đồ thị luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định: $y = x + 2,{\rm{ y}} = x - 6$.

$3)$ Gọi $({x_o},{y_o})$ là tọa độ điểm trên mặt phẳng mà đồ thị hàm số không đi qua với mọi $m$.
Thế thì phương trình:
    ${y_o} = \frac{{(m - 2){x_o} - ({m^2} - 2m + 4)}}{{{x_o} - m}}$ vô nghiệm (ẩn số là $m$)
   $ \Rightarrow {m^2} - ({y_o} + 2 + {x_o})m + ({y_o}{x_o} + 2{x_o} + 4) = 0$ vô nghiệm.
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta = {\left[ {({y_o} + 2) + {x_o}} \right]^2} - 4\left[ {({y_o} + 2){x_o} + 4} \right] < 0\\
\Leftrightarrow {({y_o} + 2 - {x_o})^2} - {4^2} < 0 \Leftrightarrow ({y_o} - {x_o} + 6)({y_o} - {x_o} - 2) < 0\\
\Leftrightarrow {x_o} - 6 < {y_o} < {x_o} + 2
\end{array}$
Vậy những điểm $({x_o},{y_o})$ phải tìm là các điểm nằm trong dải xác định bởi hai đường thẳng song song $y = x - 2$ và $y = x - 6$

Bài 105523

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105523

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan