Bài 105659

Question

Cho hàm:

$y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Từ kết quả đó, hãy suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số:

$y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{\left| {x + 2} \right|}}$
3) Tìm các điểm thuộc trục hoành sao cho từ mỗi điểm ấy có thể vẽ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 11:07:42 AM

$1)$ Viết lại hàm số dưới dạng

$y = x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}$
Hàm số xác định với mọi

$x \ne - 2$ .
Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng

$x = - 2$ , tiệm cận xiên

$y = x - 1$ .
Ta có

$y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2 \Rightarrow$ hàm số y luôn đồng biến,

$\forall x \ne - 2$ .
Bạn đọc tự vẽ đồ thị

$2)$ Ta có:

$y = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}{\rm{ }} khi {\rm{ }}x > - 2\\ \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}{\rm{ khi x < }} - 2{\rm{ }} \end{array} \right.$
Do đó khi

$x > - 2$ đồ thị của

$y$ là phần đồ thị đã vẽ ở phần

$1$ ;
khi

${\rm{x < }} - 2{\rm{ }}$ đồ thị của

$y$ là phần đồ thị vẽ ở phần

$1)$ được lấy đối xứng qua trục hoành, tức là đồ thị là đường nét đứt.

$3)$ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số phần

$1)$ đi qua điểm

$A\left( {{x_0},0} \right)$ và có hệ số góc

$k$ có dạng

$y = k\left( {x - {x_0}} \right)$ .
Gọi

$x \ne - 2$ là hoành độ tiếp điểm. Để

$k$ là duy nhất thì

$x \ne - 2$ là nghiệm duy nhất của hệ

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}{\rm{ }} = k\left( {x - {x_0}} \right)\\ 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{ }} = k{\rm{ }} \end{array} \right.$

$\Rightarrow {x_1} \ne - 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình:

$\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 2} \right) = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right]\left( {x + {x_0}} \right)$ .
Đặt

$x + 2 = u \Rightarrow u \ne 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình: