Bài 105673

Question

Cho hàm số         $y = \frac{{{x^2} - 2mx + m}}{{x + m}}$
1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tương ứng với $m = 1$
2)    Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $x = {x_0}$, thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là: $k = \frac{{2{x_0} - 2m}}{{{x_0} + m}}$
3)    Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại hai điểm và hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 11:40:57 AM

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Ta có
$y' = \frac{{\left( {x + m} \right)\left( {2x - 2m} \right) - \left( {{x^2} - 2mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} $
    $ = \frac{{2\left( {x - m} \right)}}{{x + m}} - \frac{{{x^2} - 2mx + m}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}};$
Hệ số góc của hai tiếp tuyến với đồ thị tại điểm $\left( {{x_0},0} \right)$:
    $y' = \frac{{2\left( {{x_0} - m} \right)}}{{{x_0} + m}} - \frac{{x_0^2 - 2m{x_0} + m}}{{{{\left( {{x_0} + m} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {{x_0} - m} \right)}}{{{x_0} + m}};$

$3)$    Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm khi phương trình ${x^2} - 2mx + m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ (với điều kiện $x + m \ne 0$)
$\Delta ' = {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 1
\end{array} \right.$            $(1)$
Tại $\left( {{x_1},0} \right),\left( {{x_2},0} \right)$ hệ số góc của tiếp tuyến là: ${k_1} = \frac{{2\left( {{x_1} - m} \right)}}{{{x_1} + m}},{k_2} = \frac{{2\left( {{x_2} - m} \right)}}{{{x_2} + m}}.$
Do hai tiếp tuyến vuông góc ta có
${k_1}{k_2} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{x_1} - m} \right)}}{{{x_1} + m}}.\frac{{2\left( {{x_2} - m} \right)}}{{{x_2} + m}} = - 1$
                    $ \Leftrightarrow 5{m^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)m + 5{x_1}{x_2} = 0$        $(2)$
Thế ${x_1} + {x_2} = 2m,{x_1}{x_2} = m$ vào $(1)$ ta có
$(2) \Leftrightarrow {m^2} - 5m = 0 \Leftrightarrow m = 0,m = 5.$
Do điều kiện $(1)$ nên ta có đáp số $m = 5.$

Bài 105673

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105673

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan